0 写在开头

刚学完量子力学，一般最喜欢写的就是H=T+V了，这样写很好！T可以是单粒子的动能，也可以是N粒子的，V可以是单粒子出于外部势场的势能，也可以是N粒子的相互作用势场（即A在B的势场中，算一遍势能，B在A的势场中，也算一遍势能）。

(资料图片仅供参考)

在这里我们不谈论多体带来的困难，而谈论一个新手容易弄混淆的谜团，甚至有的老练的文章产出机器还没解决的谜团。

“有的问题，当你能把这个问题表述清楚的时候，就不是问题了。”——不知道谁说的，反正昨天我跟别人说过。

这是一个谜团，而不是问题，归根究底是对于概念的理解有偏差，没能把掌握的概念自洽起来，自己的理解之间在打架，相互矛盾。

下面，请容许我提出这个谜团，表述谜团是不可能清晰的，请见谅，否则它就不是谜团了。

1 谜团的提出

1.1 预备知识 A

以简单的模型举例，一维海森堡链，形式如下：

（一般给周期B. C.）

要注意，这个系统包含的N个电子，它们的波函数非常局域，都仅仅待在格点上不动。这是需要强调的，在之后有用。

这个哈密顿量和离散的实空间平移算符T_a对易，a表示晶格常数，在T_a的作用下，H也不变，所以“动量”p是可以定义的，用波矢k标记。至于这个动量是不是动量，等会儿通过实验结果略略说一说。

这个哈密顿量的希尔伯特空间是自旋空间，基矢示意如下：

（p. s. 可以看到这里已经带有一些准粒子概念引入的味道了，其实没有引入，只是嗅到了这样的味道）

在计算上的一些经验（应该可以理论证明）告诉我们，T和H对易导致的p守恒，用来标记p的k是好量子数，可以用以将这个自旋空间中的H分块对角化。如何归类基矢到某一个k的具体值的细节我并不知道，甚至不知道这是否可行。但是我听闻过，哪怕这样的一维海森堡链也是可以画出能带图的。即k被well defined，E_k即分块矩阵对角化后的最小本征值（基态能量），把E_k画出来，即能带。

如何理解这个能带，将是谜团的核心部分。能带的谷底是整个系统的基态，而非什么电子占据态的概念，这里不要混淆了。硬要谈论占据态的话，可以说，整个系统占据了谷底这个点，整个系统只有一个，不存在分布函数，这像是统计物理中说的，6N维相空间中的一个点，代表一整个系统，这个点的运动轨迹，代表系统的时间演化，而不是在6维相空间中系统一个粒子的相轨。

总之，请注意区分系统和粒子的差异。

1.2 预备知识 B

再来看简单的仅包含 hopping 项的电子迁移模型（纯 hopping 项其实也可以转化为海森堡模型，电荷和自旋的相互转化）。要注意区分，海森堡模型研究的是把 N 个电子钉死的自旋相互作用，而这里的研究对象是电子，这里要算的是电子的波函数分布，可以理解为单电子波函数在一整个晶格的概率分布，沿着 bond 的 hopping 可以理解为单电子处于晶格势场，这是单电子近似的图像，可以很容易算出来紧束缚解，得到单电子近似下的能带，比如我“最喜欢”的辣个模型：

可以很清楚地看到，单电子的能带，还有单电子在晶格上的概率密度分布。这里的能带很方便引入电子占据的图像，电子的Dirac-Fermi分布也可以很轻松地引入。但是在“1.1”的海森堡模型中不行，在那里的末尾，已经谈论过系统和粒子之间的差异了。

1.3 谜团的模糊表述

在实验上测量，这两者能带，需要用到不同的手段，一个是角分辨光电子谱仪，一个是中子散射（中子三轴谱仪）。

角分辨光电子谱仪测量“1.2”的能带，中子三轴谱仪测量“1.1”的“能带”。

那么，这个系统的能带究竟是什么呢？他是代表整个系统的，准粒子(Fermion)、元激发(Boson)的概念，对应描述这样系统的能带，但是如何区分是费米的准粒子还是玻色的元激发呢？仍然是一个概念的谜团，持续学习中，进展缓慢。

2 谜团的历程

2.1 历程 A

在解释海森堡模型的本征解的时候，我用到了单电子的图像，我把|Psi>对应在不同基矢前的系数解释为：单电子的叠加态，而且认为这个电子波函数在这些格点上有扩展的概率密度分布，而不是仅仅待在格点之内。这是不对的，海森堡模型是一个N电子的自旋相互作用模型，并不考虑电荷密度分布的贡献。

对于|Psi>对应在不同基矢前的系数，可能正确的理解应该是，系统处在这样一个叠加态，而其基态的那个基矢对应的自旋分布状态，是体系最有可能处于的状态。而其他能量更高的状态，则称为系统的激发态，而不是电子的更高能量占据态。

如果从系综的概念出发，那么海森堡模型的能带可以理解为，中子和当前系统状态碰撞，探测发现系统出于基态、第一激发态、第二激发态……有几乎无穷个中子跟系统散射，得到无穷个系统的“当前”状态。

2.2 历程 B

二次量子化形式并非意味着一定有准粒子的引入，或者说，Hubbard模型中的产生湮灭算符可能可以对应到电子这样一个实物粒子。但是Heisenberg模型的二次量子化形式（形式在本文没有给出），对应到的并非是实物粒子，可能可以称呼为准粒子或元激发。比如自旋波激发的玻色子magnon，还有AFM的spinon等等，磁性物理那边，这些概念居多。当然，在晶格动力学里的声子是作为很多固体物理理论里基石一般的存在。电子-空穴对可以理解为费米型的准粒子？等等的这些，需要进一步地理解，和其他掌握的概念自洽关联起来。